با در نظر گرفتن شرایط مرزی و با بهره گرفتن از روش جداسازی متغیر، معادله حل شده و نتیجه به شکل تابع بسل در خواهد آمد:
در این رابطه که در آن از متغیرهای بی بعد زیر استفاده شده است، تتا  ریشه مثبت معادله می‌باشد.
در صورتی که معادله تعادل حرارتی را در دیواره لوله به صورت زیر در نظر بگیریم آنگاه خواهیم داشت:
در روابط مذکورTbدمای سیال اطراف لوله وTwدمای دیواره لوله است.
پس از محاسبه‌ی عدد بدون بعد ناسلت، ضریب هدایت جابجایی نیز به دست خواهد آمد.
۳-۳- بررسی نوترونیک
در واکنش شکافت هسته‌ای، زنجیره‌ی واکنش از اهمیت زیادی برخوردار است، یعنی ادامه واکنش به واکنش قبل بستگی دارد زیرا نوترون‌های تولیدی در یک واکنش عامل واکنش بعدی هستند. برای ادامه داشتن و زنجیری بودن واکنش شکافت باید تعداد نوترون تولیدی در یک واکنش برای ادامه واکنش کافی باشد. در هر تک واکنش شکافت به‌طور میانگین ۲٫۵۴ عدد نوترون تولید می‌شود که هر کدام از این نوترون‌ها خود قابلیت انجام واکنشی دیگر را دارند. برای بیان میزان تولید و مصرف نوترون و درنتیجه وضعیت ادامه واکنش از پارامتری به نام ضریب تکثیر استفاده می‌شود. در رآکتور هسته‌ای ضریب تکثیر k به شکل زیر تعریف می‌شود ]۱۷[.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

پس ضریب تکثیر تعداد نوترون‌های تولیدی در هر نسل به تعداد نوترون‌های تولیدی در نسل قبل می‌باشد که مقدار آن نمایانگر این است که آیا واکنش ادامه خواهد داشت یا خیر.
همان‌گونه که پیداست اگر مقدار ضریب تکثیر برابر با یک باشد واکنش زنجیری مستقل از زمان خواهد بود و با نرخ ثابت انجام خواهد شد، این حالت را حالت بحرانی گویند. مشخص است که حالت ایده آل برای ما داشتن ضریب تکثیر برابر یک خواهد بود که در این حالت تعداد نوترون‌ها در رآکتور میزان ثابتی خواهد بود. مشخص است که اگر ضریب تکثیر کوچک‌تر از یک باشد تعداد نوترون‌های مصرفی بیشتر از نوترون‌های تولیدی است و واکنش زنجیری به مرور زمان تا توقف کامل واکنش پیش خواهد رفت. به این حالت که ضریب تکثیر کوچک‌تر از یک است در اصطلاح حالت زیربحرانی رآکتور گویند]۱۷[.
اگر میزان ضریب تکثیر بزرگ‌تر از یک باشد یعنی تعداد نوترون‌های تولیدی بیشتر از تعداد نوترون‌های مصرفی باشد و موجودی نوترون رو به افزایش باشد واکنش زنجیری شکافت با شدت بیشتری نسبت به قبل در هر لحظه ادامه پیدا خواهد کرد. این حالت یعنی ضریب تکثیر بزرگ‌تر از یک را حالت فوق بحرانی گوییم. در بمبهای هسته‌ای مقدار ضریب تکثیر در شروع واکنش بزرگ‌تر از یک بوده واکنش با شدت بیشتری تا اتمام ماده شکافت پذیر ادامه پیدا می‌کند و انرژی زیادی تولید می‌شود]۱۷[.
کاری که در رآکتور هسته‌ای انجام می‌شود کنترل واکنش زنجیری شکافت با ایجاد توازن بین حالت‌های زیربحرانی، بحرانی و فوق بحرانی است. مشخص است که حالت ایده آل برای ما داشتن حالت بحرانی در شرایط نرمال رآکتور خواهد بود؛ یعنی در شروع با داشتن حالت فوق بحرانی میزان واکنشش را تا اندازه مشخصی افزایش می‌دهیم سپس با ثابت نگه‌داشتن حالت بحرانی از رآکتور بهره میجوییم و برای کاهش شدت واکنش در مواقع اضطراری یا خاموشی رآکتور از حالت زیر بحرانی استفاده می‌کنیم]۱۷[.
مسئله مهم در طراحی رآکتور هسته‌ای طراحی رآکتوری است که در حالت نرمال کارکرد رآکتور دارای حالت بحرانی باشد. اینکار بدین شکل خواهد بود که در ابتدا ترکیب ومقداری حدودی برای رآکتوری منحصربه‌فرد را در نظر می‌گیریم و سپس باتوجه به این مقدار ماده مقدار ضریب تکثیر را محاسبه می‌کنیم. اگر مقدار ضریب تکثیر برابر با یک نباشد (که معمولاً در موارد اول نخواهد بود) با بهره گرفتن از مقدار ضریب تکثیر به‌دست‌آمده طراحی پیشین را اصلاح می‌کنیم. پس مقدار ماده طراحی ‌شده برای رآکتور برابر با مقداری است که رآکتور را بحرانی نگه دارد. در ابتدا با واردکردن چشمه نوترونی در رآکتور باعث افزایش ضریب تکثیرشده و رآکتور را به حالت فوق بحرانی می‌رسانیم. این کار تا رسیدن به جمعیت نوترونی مناسب ادامه پیدا می‌کند و سپس با بهره گرفتن از سم‌های نوترونی که قابلیت جذب نوترون بدون انجام واکنش شکافت هستند رآکتور را در حالتی بحرانی نگاه می‌داریم. پس واضح است که ضریب تکثیر نقش فوق‌العاده مهمی در رفتار رآکتور بازی می‌کند و محاسبه مقدار ضریب تکثیر که تعین­کننده مقدار و ترکیب مواد رآکتور است مبحث مهمی در طراحی رآکتور هسته‌ای است.
همان‌گونه که گفته شد ضریب تکثیر توسط رابطه ۳-۲۵ بیان میشود.]۱۷[:
البته این تعریف زمانی درست است که توان به حد کافی بزرگ باشد که بتوان از اثر نوترون‌های چشمه (فوتونوترونها و نوترون‌های شکافت خودبه‌خودی) صرف‌نظر کرد.
یکی از روش‌های محاسبه ضریب تکثیر فرمول چهار فاکتور است که به شکل زیر است]۱۷[:
که در این رابطه فاکتور شکافت سریع است که خود به صورت زیر تعریف می‌شود]۱۷[:
احتمال فرار رزونانس است که خود به صورت زیر تعریف می‌شود:
فاکتور بهره ترمال است که خود به صورت زیر تعریف می‌شود]۱۷[:
فاکتور تولید است که خود به صورت زیر تعریف می‌شود]۱۷[:
۳-۳-۱- جاذب‌های شیمیایی^[۱]
این عبارت یعنی استفاده از جاذب های نوترون محلول مانند اسیدبوریک که در خنک­کننده اولیه حل می شوند. چون هدف بررسی امکان استفاده از نانوسیالات به عنوان جاذب نوترون است، لازم است که مقدمه­ای بر مواد جاذب شیمیایی آورده شود که در این قسمت مورد بحث قرار میگیرند. همانطور که میدانیم برای کنترل رآکتور علاوه بر میله‌های کنترل، می‌توان از تغییر غلظت جاذب در خنک کننده استفاده کرد که یک پروسه­ی کند است و فقط برای کنترل اثرات اکتیوتیه بسیار کند صورت می گیرد. اسید بوریک محلولیت خوبی در آب دارد و در BWR, PWR از آن استفاده می­ شود. ازآنجا که بورون هیچ ایزوتوپ رادیواکتیوی ندارد درنتیجه مشکل رادیو اکتیویته ای به وجود نمی آورد. اسید بوریک در زمان خاموش کردن راکتور در اکثر راکتورها مورداستفاده قرار می گیرد]۲۰[.
غلظت اسید بوریک برای جبران موارد زیر در Life time, startup قلب تغییر می کند.
۱- تغییر راکتیوتیه ناشی از تغییر دمای کند کننده از cold shut down به zero power
۲- تغییر راکتیوتیه ناشی از تولید Sm, Xe در قلب
۳- کاهش راکتیوتیه به دلیل Fuel depletion و تولید پاره های شکافت با عمر زیاد به جز Xe, Sm در حالت کلی chemical shim و burnable poison تنظیم دراز مدت راکتیوتیه قلب را بر عهده دارند[۴].
حالتهای گذرای سریع راکتور با میله های کنترل قابل تنظیم می‌باشد. میله های کنترل از عناصر شیمیایی که توانایی جذب نوترون را بدون این که متحمل شکافت شوند،‌ ساخته می شود. مثل نقره، ایندیوم و کادمیوم. در PWR ها حدود یک سوم مجتمع های سوخت حاوی میله های کنترل هستند که درون Control rod guide tube قرار گرفته‌اند و جایگزین میله های سوخت می شوند. برخی میله های درون مجتمع سوخت نیز به جای سوخت حاوی وسایل اندازه‌گیری می‌باشند. در PWR، این میله ها از بالا وارد قلب می شوند]۲۰[.
موارد استفاده از میله کنترل به صورت زیر است:
حالت گذرا به دلیل توان و ضریب داپلر راکتیوتیه
حدود Shut down و ایمنی
۳- تغییرات سریع در دمای متوسط کند کننده
۴- تشکیل void (جوشش)
در رابطه زیر ارزش بورون (WB ) به صورت تغییر جزیی در ضریب تضاعف مؤثر (  ) بر واحد غلظت بورون (C_B) برحسب ppm تعریف می شود]۴[.
(۲۸-۳)
غلظت بورون در خنک کننده به وسیله روش feed – and – bleed قابل تنظیم است. در این روش غلظت بورون با تغذیه محلولی به داخل قلب که غلظت بورون آن بیشتر از خنک کننده است افزایش می‌یابد؛ و با تزریق آب خالص که غلظت بورون آن کمتر از آب خنک کننده کاهش می‌یابد]۲۰[.
ازآنجا که chemical – shim باعث کاهش میزان رادیواکتیوتیه می شود تعداد و اندازه میله های کنترل نیز کاهش می‌یابد یعنی می‌توان از موادی با سطح مقطع جذب نوترون پایین تر استفاده کرد مانند فولاد ضدزنگ به جای ۰B, HF, Cd, In, Ag جاذب های شیمیایی توزیع فضایی توان را تغییر نمی دهند ازآنجا که به صورت یکنواخت در قلب توزیع می شوند به جز یک اثر کم به دلیل افزایش چگالی در نیمه پایینی قلب به دلیل آب با دمای کمتر. Chemicad – shim منجر به اصلاح توزیع فضایی توان می شود و بنابراین متوسط به بیشینه چگالی توان را افزایش می‌دهد به دلیل کاهش blackness، اندازه یا درجه ورود میله کنترل به قلب. میله های کنترلی که درون قلب باقی می مانند توزیع توان محوری را خراب می کنند ازآنجا که پیک چگالی توان را به جایی غیر از مرکز می برند. شکل زیر را نگاه کنید]۲۰[.
شکل۳-۴: تأثیر ارزش راکتیویته و عمق میله‌های کنترل بر روی میانگین
نسبت دانسیته توان محوری[۲۰]
اثر دیگر در توزیع توان محوری در راکتورهای بزرگ توانی است که راکتور در آن کار می کند. اثر داپلر در سوختهای اکسید باعث یک افت راکتیویته بزرگ در دماهای بالا می شود و اثر داپلر تمایل به کاهش این اثر پیک دارد]۲۰[.
در شروع عمر یک قلب،‌ میله های کنترل معمولاً برای مسطح (flat) کردن توزیع توان شعاعی استفاده می شوند. به دلیل burnup، میله های کنترل بیرون کشیده می شوند و توزیع توان کمتر مسطح می شود]۲۰[.
هنگامی که جاذب شیمیایی استفاده شود‏، توان می‌تواند در شروع عمر قلب به وسیله تغییر جزیی در غنی سازی سوخت یا ترکیبات قلب مسطح شود. این توزیع توان مطلوب می‌تواند به وسیله تغییر غلظت جاذب شیمیایی حفظ شود، در حالی که مکان میله ای سوخت در جای اولیه باقی می مانند.
با توزیع توان مطلوب، استفاده از chemical – shim باعث افزایش burnup سوخت برای تعداد مشخصی از میله های کنترل داده‌شده، می شود. بدون جاذب های شیمیایی، burnup سوخت به وسیله تعدادی از میله های کنترل محدود می شود. در حالی که- shim chemical باعث کاهش در تعداد، اندازه یا blackness میله های کنترل می شود، اثر آن خطی نیست. به‌طور واقعی یک کاهش ناچیزی در ارزش میله با افزایش غلظت جاذب های شیمیایی وجود دارد[۲۰].
اثر مهم دیگر ضریب دمایی کند کننده  می‌باشد و در راکتوری که از chemical shim استفاده می کند  کمتر منفی می‌باشد از راکتوری که کاملا از میله کنترل استفاده می کند. این بدان دلیل است که میله های کنترل در ضریب منفی شرکت می کنند ولی در راکتوری که از chemical shim استفاده می کند تعداد آن‌ها کم است و کمتر black هستند و به صورت جزیی استفاده می شوند‌ و به دلیل این که غلظت بورون زمانی که چگالی آب با افزایش دما کاهش می­یابد،‌کمتر شده که این منجر به مثبت تر شدن  می شود. ضریب دمایی کند کننده با زمان بیشتر منفی می شود) به دلیل کاهش غلظت بورون با (burnup. [20]
ضریب دمایی کند کننده در یک PWR که با chemical shim کار می کند بین  تا  می‌باشد.
ارزش بورون کمی با غنای سوخت کاهش می باید زیرا سوخت با غنای بیشتر در مقابله با بورون برای تصاحب نوترون بر آن غلبه می کند. همچنین با افزایش نرخ  قلب بیشتر از بورون متأثر می شود. شکل زیر را توجه کنید:]۲۰[.
شکل ۳-۵: ارزش راکتیویته محاسبه شده بورون محلول برای سه نوع رآکتور pwr [20]
وقتی که اسید بوریک استفاده می شود، ابزاری برای نگهداری PH، کنترل و خلوص خنک کننده باید ایجاد شود. سیستم خالص سازی خنک کننده باید طوری طراحی شود که بورون را از سیستم خارج نکند]۲۰[.
یک مشکل که برای استفاده از chemical shim وجود دارد plateout, hideout است. Hide out یعنی ته نشین شدن بورون از محلول به سطوح جامد یا ته نشین شدن محصولات خوردگی و پیوستن آن‌ها به سطوح سیستمهای قلب. این مواد ته نشین شده می‌توانند تحت تغییر شرایط کاری دوباره وارد سیستم شوند. که به آن Plateout می­گویند. این دو مورد در سیستم مطلوب نمی‌باشند زیرا موجب تغییر راکتیوتیه به صورت مثبت یا منفی می شوند که تنها مورد ایمنی هستند که در استفاده از chemical shim روی می‌دهد]۲۰[.
در قسمت مطالعه نوترونی همان‌گونه که گفته شد ابتدا نانوسیالات متداول و تائید شده‌ای که به عنوان کمک خنک‌کننده استفاده می‌شود را انتخاب و از نقطه‌نظر نوترونی که عمدتاً مطالعه اثر این نانو سیالات روی بحرانیت و ضریب تکثیر رآکتور است مورد مطالعه قرار می‌دهیم.