حال با توجه به فرم معادله می­توانیم توابع شکل برای هر درجه آزادی را محاسبه کنیم.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

۴-۲۳

با داشتن ماتریسB می­توانیم کرنش­ها و در نهایت تنش در هر المان مثلثی خطی را محاسبه کنیم.
۴-۲-۱-فرمول توابع شکل لاگرانژ:
نقش اصلی در روش اجزای محدود بر عهده توابع شکل است. اگر بتوانیم رابطه­ای کلی برای بدست آوردن توابع شکل المان­های مختلف بدست آوریم دیگر نیازی به اثبات توابع شکل برای هر مورد نداریم. این­کار توسط لاگرانژ انجام یافته است. فرض کنید تابعی به نام  با توان  ، توسط n مقدار  به فرم زیر تعریف می­ شود.
۴-۲۴
هر تابع شکل  مطابق مطابق فرمول لاگرانژ مطابق زیر است.
۴-۲۵
۴-۲-۲-توابع شکل المان دو بعدی:
فرض کنید یک متغیر وابسته  از ۴ مقدار گرهی  واقع در گوشه­های یک مستطیل مطابق شکل قابل درون­یابی است. در اینجا  به فرم زیر است.

شکل۴-۴- المان مستطیلی ۴ نقطه­ای
۴-۲۶
می­توانیم توابع شکل را مطابق فرمول لاگرانژ محاسبه کنیم. در شکل می­توانیم  را به طور خطی در امتداد ضلع چپ و مقادیر گرهی  و ضلع سمت راست و مقادیر  بدست آوریم. در نتیجه
۴-۲۷
حال همین درون­یابی خطی را بیندو مقدار  و در امتداد جهت x درون یابی می­کنیم.
۴-۲۸
حال با جایگذاری  می­توانیم چهار تابع شکل را محاسبه کنیم.
۴-۲۹
۴-۲-۲-۱-المان مستطیلی:
المان دیگری که در این قسمت بحث خواهیم کرد المان مستطیلی صفحه­ای ساده خواهد بود که در شکل نمایش داده شده است.

شکل۴-۵- درجات آزادی المان مستطیلی ۴ نقطه­ای
در این بخش نیز ابتدا به دنبال بدست آوردن تابع شکل هستیم، بنابراین به دنبال رابطه­ای بین متغیر اصلی که در اینجا تغییر مکان می­باشد و متغیر­های گرهی هستیم. با توجه به تئوری گالرکین ومشابه المان مثلثی با رابطه زیر مواجه هستیم.
۴-۳۰
همانطور که می­دانیم رابطه اصلی بین متغیر و درجات آزادی گرهی به صورت  زیر است پس
۴-۳۱
توابع شکل  این المان در مبحث معرفی شده است. حال با بهره گرفتن از این توابع شکل می­توانیم ماتریس تنش کرنش را محاسبه کنیم.
۴-۳۲
۴-۳۳
ماتریس سختی المان مطابق زیر است.
۴-۳۴
در جایی که t ضخامت المان است. انتگرال شامل چند جمله­ای شامل xوy می­باشد و به راحتی قابل محاسبه است.
۴-۳- المان­های ایزوپارامتریک^[۴۶]:
در بخش ۲-۱-۴ با کلیات روش اجزای محدود و اساس تئوری این روش تا حدود زیادی آشنا شدیم. در این فصل با المان­های ایزوپارامتریک و جزئیات محاسباتی آنها، با روش انتگرال­گیری گوس و روش­های غیر خطی،آشنا می­شویم. همانطور که قبلاً اشاره شد در استفاده ازروش اجزای محدودنیاز به مش­بندی حوضه یا جسم مورد نظر داریم.به طور مثال فرض کنید می­خواهیم ربع دایره شکل ۴-۶ را مش­بندی­کنیم.

شکل۴-۶- حوضه­ای به شکل ربع دایره
اگر بخواهیم از المان مثلثی استفاده نماییم و همچنین بتوانیم به طور همزمان قوس را به خوبی در مش­بندی بپوشانیم،به شکل مطابق زیر می­رسیم.

شکل۴-۷- مش­بندی حوضه توسط المان مثلثی سه نقطه­ای
در شکل ۴-۷ مرز­ها به خوبی پوشیده شده ­اند امانسبت ابعاد المان­ها مشکل دارد.یعنی نسبت طول بزرگترین بعد یک المان به کوچکترین بعد از یک مقدار مشخص که در المان­های مثلثی حدوداٌ ۲ می­باشد،خیلی بیشتر است و این باعث پایین آمدن دقت محاسبات می­ شود.
حال اگر بخواهیم از المان مستطیلی مرسوم استفاده نماییم،مش­بندی مورد نظر شبیه شکل ۴-۸ می­گردد.

شکل۴-۸- مش­بندی حوضه توسط المان مستطیلی ۴ نقطه­ای
همانطور که می­بینیم با این نوع مش­بندی در مرز منحنی شکل مشکل داریم و برای رفع این مشکل نیاز به ریز تر کردن المان­ها در نقاط مرزی داریم،و این یعنی زمان بیشتر و هزینه بیشتر!
در نتیجه راه سومی مورد نیاز است که آن استفاده از المان­های ۴ ضلعی می­باشد مطابق شکل زیر

شکل۴-۹- مش­بندی حوظه توسط المان ایزوپارامتریک ۴ نقطه­ای
در این حالت هم تعداد المان­ها کم و مناسب است و هم بخوبی توانسته­ایم نقاط مرزی را پوشش دهیم.به این نوع المان­های ۴ ضلعی ایزوپارامتریک می­گویند که در زیر نحوه بدست آردن ماتریس شکل این الما­نها بحث می­گردد.

شکل۴-۱۰- نمونه ­ای از المان ایزوپارامتریک ۴ نقطه­ای در مختصات واقعی و تبدیل شده