حال با توجه به فرم معادله میتوانیم توابع شکل برای هر درجه آزادی را محاسبه کنیم.
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
۴-۲۳
با داشتن ماتریسB میتوانیم کرنشها و در نهایت تنش در هر المان مثلثی خطی را محاسبه کنیم.
۴-۲-۱-فرمول توابع شکل لاگرانژ:
نقش اصلی در روش اجزای محدود بر عهده توابع شکل است. اگر بتوانیم رابطهای کلی برای بدست آوردن توابع شکل المانهای مختلف بدست آوریم دیگر نیازی به اثبات توابع شکل برای هر مورد نداریم. اینکار توسط لاگرانژ انجام یافته است. فرض کنید تابعی به نام با توان ، توسط n مقدار به فرم زیر تعریف می شود.
۴-۲۴
هر تابع شکل مطابق مطابق فرمول لاگرانژ مطابق زیر است.
۴-۲۵
۴-۲-۲-توابع شکل المان دو بعدی:
فرض کنید یک متغیر وابسته از ۴ مقدار گرهی واقع در گوشههای یک مستطیل مطابق شکل قابل درونیابی است. در اینجا به فرم زیر است.
شکل۴-۴- المان مستطیلی ۴ نقطهای
۴-۲۶
میتوانیم توابع شکل را مطابق فرمول لاگرانژ محاسبه کنیم. در شکل میتوانیم را به طور خطی در امتداد ضلع چپ و مقادیر گرهی و ضلع سمت راست و مقادیر بدست آوریم. در نتیجه
۴-۲۷
حال همین درونیابی خطی را بیندو مقدار و در امتداد جهت x درون یابی میکنیم.
۴-۲۸
حال با جایگذاری میتوانیم چهار تابع شکل را محاسبه کنیم.
۴-۲۹
۴-۲-۲-۱-المان مستطیلی:
المان دیگری که در این قسمت بحث خواهیم کرد المان مستطیلی صفحهای ساده خواهد بود که در شکل نمایش داده شده است.
شکل۴-۵- درجات آزادی المان مستطیلی ۴ نقطهای
در این بخش نیز ابتدا به دنبال بدست آوردن تابع شکل هستیم، بنابراین به دنبال رابطهای بین متغیر اصلی که در اینجا تغییر مکان میباشد و متغیرهای گرهی هستیم. با توجه به تئوری گالرکین ومشابه المان مثلثی با رابطه زیر مواجه هستیم.
۴-۳۰
همانطور که میدانیم رابطه اصلی بین متغیر و درجات آزادی گرهی به صورت زیر است پس
۴-۳۱
توابع شکل این المان در مبحث معرفی شده است. حال با بهره گرفتن از این توابع شکل میتوانیم ماتریس تنش کرنش را محاسبه کنیم.
۴-۳۲
۴-۳۳
ماتریس سختی المان مطابق زیر است.
۴-۳۴
در جایی که t ضخامت المان است. انتگرال شامل چند جملهای شامل xوy میباشد و به راحتی قابل محاسبه است.
۴-۳- المانهای ایزوپارامتریک[۴۶]:
در بخش ۲-۱-۴ با کلیات روش اجزای محدود و اساس تئوری این روش تا حدود زیادی آشنا شدیم. در این فصل با المانهای ایزوپارامتریک و جزئیات محاسباتی آنها، با روش انتگرالگیری گوس و روشهای غیر خطی،آشنا میشویم. همانطور که قبلاً اشاره شد در استفاده ازروش اجزای محدودنیاز به مشبندی حوضه یا جسم مورد نظر داریم.به طور مثال فرض کنید میخواهیم ربع دایره شکل ۴-۶ را مشبندیکنیم.
شکل۴-۶- حوضهای به شکل ربع دایره
اگر بخواهیم از المان مثلثی استفاده نماییم و همچنین بتوانیم به طور همزمان قوس را به خوبی در مشبندی بپوشانیم،به شکل مطابق زیر میرسیم.
شکل۴-۷- مشبندی حوضه توسط المان مثلثی سه نقطهای
در شکل ۴-۷ مرزها به خوبی پوشیده شده اند امانسبت ابعاد المانها مشکل دارد.یعنی نسبت طول بزرگترین بعد یک المان به کوچکترین بعد از یک مقدار مشخص که در المانهای مثلثی حدوداٌ ۲ میباشد،خیلی بیشتر است و این باعث پایین آمدن دقت محاسبات می شود.
حال اگر بخواهیم از المان مستطیلی مرسوم استفاده نماییم،مشبندی مورد نظر شبیه شکل ۴-۸ میگردد.
شکل۴-۸- مشبندی حوضه توسط المان مستطیلی ۴ نقطهای
همانطور که میبینیم با این نوع مشبندی در مرز منحنی شکل مشکل داریم و برای رفع این مشکل نیاز به ریز تر کردن المانها در نقاط مرزی داریم،و این یعنی زمان بیشتر و هزینه بیشتر!
در نتیجه راه سومی مورد نیاز است که آن استفاده از المانهای ۴ ضلعی میباشد مطابق شکل زیر
شکل۴-۹- مشبندی حوظه توسط المان ایزوپارامتریک ۴ نقطهای
در این حالت هم تعداد المانها کم و مناسب است و هم بخوبی توانستهایم نقاط مرزی را پوشش دهیم.به این نوع المانهای ۴ ضلعی ایزوپارامتریک میگویند که در زیر نحوه بدست آردن ماتریس شکل این المانها بحث میگردد.
شکل۴-۱۰- نمونه ای از المان ایزوپارامتریک ۴ نقطهای در مختصات واقعی و تبدیل شده
[پنجشنبه 1400-09-11] [ 03:03:00 ب.ظ ]
|