بسط سری فوریه و تبدیل فوریه هدف اولیه مشابهی دارند :مفهوما بسط سری فوریه و تبدیل فوریه یک کار مشابع را انجام می را دهند.تفاوت اینست که سری فوریه سیگنال پریودیک به تابع هارمونیک فرکانسهای گسسته تبدیل می کند وتبدیل فوریه یک تابع غیر پریودیک را به یک تابه هارمونیک با فرکانس پیوسته تبدیل می کند.ریاضیات متفاوت است اما هدف یکسان است[۲۲].
۲-۲-۲ تبدیل فوریه دو بعدی
تابعی با دو متغییر مکانی f(x,y) را می توان بصورت انطباق وزن دار هارمونیک توابع دو بعدی در نظر گرفت.مفهوم فوق به صورت گرافیکی در شکل) ۲- ۷( که مثالی از توابع هارمونیک برای تولید تصویر f(x,y) ترکیب شده اند. تبدیل فوریه معکوس دو بعدی بصورت زیر تعریف می شود.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

شکل ۲-۸ مفهوم گرافیگی توابع هارمونیک

(۴)
که تابع وزن دار) F(k_x ,k_y که تبدیل فوریه دو بعدی نامیده می شود.
(۵)

(۶)
تبدیل دو بعدی فوریه را بعنوان انتگرالی که می بایست حل شود در نظر می گیریم ، که در نگاه اول ترسناک بنظر می آید. در واقع نعداد توابعی که تبدیل فوریه آنها نیاز به محاسبه دارند نسبتا کم است و معمولا توابع ساده ایی هستند. بر دو چیز تاکید داریم، اول تبدیل پیچیده فوریه به سادگی و سرعت بر روی کامپیوتر قابل محاسبه است در حقیقت، توسعه و اجرا دیجیتال تبدیل فوریه برای کامپیوتر ( تبدیل سریع فوریه FFT نامیده می شود)که دنیای پردازش تصویر را متحول ساخت. دوم اینکه ارائه مقدار حقیقی حوزه فرکانس نه تنها توانایی محاسبه این انتگرال پیچیده را بصورت عددی فراهم ساخته بلکه بیشتر جایگزین و نقطعه نظر مکمل است که حوزه فرکانس که در شکل دادن و ساختار پردازش تصویر ارائه می شود[۲۲].
۲-۲-۳ ) فیلتر حوزه فرکانس^[۶۵]
در حوزه مکانی، بطور اساسی نگران می باشیم که چگونه سیستمهای تصویری و فیلترینگ تاثیرات مختلف بر پیکسلهای تصویر می گذارند. در حوزه فرکانس پردازش تصویر، هرچند که سیستمهای تصویری و عملکرد فیلترینگ را از دید دیگر در نظر می گیریم. که اینگونه می نامیم چگونه آنها تاثیر بر هارمونیکهای سازنده که ورودی را شکل می دهند دارند.(شکل ۲-۸) ایده فضای مکانی و فرکانسی را به تصویر می کشد.

شکل ۲-۹ عملکرد فیلترینگ
در حوزه مکانی به محل پیکسل با مختصات کارتزین xوy رجوع می کنیم. در فضای فرکانسی مقدار در هر نقطه مختصات در سیستم (k_x,k_y) مشارکتی که اجزا هارمونیکهای فرکانسی exp[j(k_x,k_y)] در ایجاد تصویر دارند.
(شکل۲-۹) نمایش ایده اصلی پشت فیلتر در حوزه فرکانس می باشد که در آن یک جزء هارمونیکی خاص از تصویر برداشته می شود.

شکل ۲-۱۰ - فرایند پایه فیلتر فرکانسی شامل سه مرحله است ۱ ) محاسبه تبدیل فوریه ۲ ) حذف فرکانسهایی مشخص در انتقال توسط ضرب در تابع فیلتر. سپس ۳ ) محاسبه تبدیل معکوس فوریه و انتقال به حوزه مکان.[ ۲۲]
۲-۳ ) روش SIFT ^[۶۶]
این الگوریتم توسط( دیوید لویی ۲۰۰۴ )^۱ ابداع گردید[۲۳] SIFT یک روش برای آشکار سازی و استخراج ویژگی های مستقل و مشخص از تصاویر میباشد که می تواند برای پیدا نمودن نقاط متناظر بین تصاویر و یا اشیاء مورد استفاده قرار گیرد .خصوصیات اصلی نقاط استخراجی عبارتند از :
مشخص و متمایز هستند
به آسانی استخراج می شوند
مستقل از مقیاس، دوران ، تغییر در روشنایی تصویر و میزان نویز تصویر
این الگوریتم غالبا برای کار بردهایی نظیر تشخیص شی ، تناظر یابی تصاویر، ردیابی و ساختن مناظر سه بعدی ، بازیابی شی در بانکهای اطلاعاتی چند رسانه ایی ، رباتهای خودکار و….. مورد استفاده قرار می گیرد .استخراج این نقاط در چهار مرحله خلاصه می شوند که عبارتند از :
آشکار سازی نقاط اکسترمم در فضای مقیاس^[۶۷]
در مرحله اول با بهره گرفتن از تابعDOG ^[۶۸]تمامی نقاط تصویر در تمامی مقیاس ها، برای پیداکردن ویژگیهایی که نسبت به تغییر جهت گیری ومقیاس تغییر ناپذیرند، مورد جستجو واقع می شود.
مکان گزینی نقاط محلی ^[۶۹]
در هر نقطه بالقوه یک مدل مبسوط مورد استفاده واقع می شودتا نقاط مناسب را بر اساس معیارهای پایداری متفاوت که توضیح داده خواهد شد، معین کند.
نسبت دادن جهت ^[۷۰]
بر اساس گرادیان محلی تصویر در نقاط مورد نظر یک جهت گیری به هر یک از نقاط ویژگی تخصیص داده می شود.
توصیفگر نقاط کلیدی ^[۷۱]
اطلاعات موجود در تابع گرادیان در اطراف نقاط ویژگی به نحوی کد شده وبه عنوان مشخصه هر ویژگی برای کارهای بعدی مانند مطابقت ویژگی ها مورد استفاده واقع می شود.
۲-۳-۱ ) آشکار سازی نقاط اکسترمم در فضای مقیاس
نشان داده شده که بهترین کرنل برای فضای مقیاس در تصاویر، کرنل گوسی است بنابراین فضای مقیاس برای یک تصویر به صورت تابع L (x , y ,σ ) تعریف می شود که حاصل کانولوشن تصویرI (x , y ) با یک تابع مقیاس متغیر گوسی G(x,y,ϭ) است.
(۷)
(۸)
برای تشخیص اکسترمم در فضای مقیاس می توان از تابع زیر که DOG نامیده می شود استفاده کرد.

(۹)
به دو دلیل استفاده از تابع بالا مناسب است اول این که با توجه به این که
(۱۰)
نشان داده شده که عبارت سمت راست تساوی که در حقیقت لاپلاسین نرمالیزه شده تابع گوسین است، برای تشخیص بردارهای ویژگی مستقل از مقیاس مناسب است. ثانیا محاسبه آن از نظر برنامه نویسی راحت تر می باشد چون در حقیقت از تفریق دو تصویر قابل حصول است. از آنجا که ضریب(K-1) مقداری ثابت است در پیدا کردن اکسترمم تاثیری نمی گذارد.
برای اجرای الگوریتم ابتدا باید تصویر را با یک تابع گوسی با انحراف معیار ۰.۵ کانوالو نمود وبا استفاده از درون یابی یک تصویر با ابعاد دوبرابر بدست آورد طبق ادعای Lowe این کار باعث می شود که تعداد بردارهای ویژگی پایا ۴ برابر شود. نکته اساسی در پیاده سازی این بخش آن است. که به جای اینکه اول یک تابع گوسی دو بعدی که در تمامی نقاط مقدار غیر صفر دارد تولید شود یک ماسک مربعی از تابع گوسی مورد نظر تولید می شود شودکه ضلع آن حدود ۳.۵ برابر انحراف معیار است سپس این ماسک با تصویر کانوالو می شود مقدار یک تابع گوسی دوبعدی به ازای نقا ط ی که از میانگین آن بیش از ۳.۵ برابر انحراف معیار فاصله دارند ناچیز قلمداد می شود که فرض معقولی است. در مرحله بعد با توجه به شکل تصاویر DOG تولید می شود.
الگوریتم کار به این صورت است که تصویر تولید شده در مرحله اول به یک کرنل گوسی با انحراف معیار σ =۱.۶ کانوالو می گردد. تصاویر بعدی در هر اکتاو از کانوالوتصویر اصلی با کرنل ها ی گوسی با انحراف معیارهایϭ، ϭ ،ϭ۲،ϭ،ϭ۴ بدست می آید. σبرای اکتاو صفرم ۱.۶ و برای اکتاو بعدی دو برابر می شود واین روند ادامه می یابد. همچنین اولین تصویر از هر اکتاو -به غیر ازاکتاو صفر - در فضای مقیاسی با زیر نمونه برداری از تصویر مناسبی از اکتاو قبلی بدست می آید . ازاکتاو قبلی تصویری برای زیر نمونه برداری انتخاب می شود که از کانولوشن تصویر پایه آن اکتاو بایک تابع گوسی با انحراف معیار  بدست آمده باشد که در آن  انحراف معیارکرنل گوسی پایه مربوط به اکتاو است . تصاویر همسایه از یکدیگر تفریق می شوند تا فضای تفاضلی نشان داده شده در سمت راست شکل(۲-۱۰) بدست آید. در گام بعدی عمل اکسترمم یابی انجام می گیرد.
شکل (۲-۱۱ ) شمایی از مراحل انجام الگوریتم تا مرحله اکسترمم یابی
با توجه به شکل برای پیدا کردن نقاط اکسترم محلی هر پیکسل با ۸پیکسل اطراف خودو ۹پیکسل معادل دریک مقیاس بالاتر ویک مقیاس پایین تر از خود مقایسه می گردد در صورتی که از همه آنها بزرگتریاازهمه آنها کوچکتر بود ودرضمن شرایطی که در ادامه خواهد آمد را اقناع کرد شکل(۲-۱۱ ).
به عنوان ویژگی در نظر گرفته می شود . با توجه به الگوریتم بالا برای اینکه در هر اکتاودر فضای مقیاسی غیر تفاضلی ۵ تصویر تولید گرددبنابراین اگر ق ر ار باشد هراکتاو فضای تفاضلی بهs بازه تقسیم گردد بایستی
s +3 تصویر درفضای مقیاس غیر تفاضلی تولید شود فلذا برای فرمول ه ا ی بالا باید داشته باشیم k=2^1/2 sدر شبیه سازیs=3 در نظر گرفته می شود.
شکل (۲-۱۲ ) نحوه مقایسه نقاط برای بدست آوردن نقاط اکسترمم
هر نقطه اکسترمم برای اینکه به عنوان ویژگی انتخاب شود باید اولا مقدار کنتراستش بالاتر ازیک مقدارباشد که با توجه به اینکه تصویر اولیه در بازه بین صفر ویک نرمالیزه می شود این آستانه ۰.۰۳ در نظر گرفته می شود . ثانیا با توجه به اینکه در نقاطی که برای انتخاب به عنوان ویژگی ضعیف هستند مشتق در یک جهت بزرگ ودر جهت عمود به آن بسیار کوچک است یک معیار برای تشخیص این نقاط می تواند با بهره گرفتن از ماتریس هسین اعمال شود و چون نسبت بین اندازه مشتقات برابر با نسبت بین مقادیر ویژه ماتریس هسین است می توان چنین نقاطی را نیز تمییز داد که برای مناسب بودن باید داشته باشیم.
(۱۱)
(۱۲)
که مقدار r = ۱۰ به عنوان حد آستانه معرفی شده است با توجه به روش گفته شده نقاط ویژگی بدون در نظر گرفتن هیچ شرطی وتنها براساس اینکه نقطه اکسترمم هستند وبا اعمال شرط کنتراست باعث میشود نقاطی که در لبه قرار دارند از جمله نقاطی هستند که مشتق آنها در یک جهت خیلی بزرگ تر از مشتق در جهت دیگر است که با ا عمال شرط مورد نظراین نقاط نیز حذف گردد برای بدست آورد تابع هسین که یک ماتریس  است از همان عملگرهای معروف مشتق گیری وکانوالو آنها با تصویر استفاده می شود.
۲-۳-۲ نسبت دادن جهت :
برای اجرای این مرحله گرادیان تابع با بهره گرفتن از تصاویر DOG به صورت زیر محاسبه می شود.
(۱۳)