.

در نتیجه، را می­توان به صورت زیر محاسبه کرد:

۲-۱۵

,

در آخرین تساوی، در نظر گرفته شده است. این امر را می­توان با بهره گرفتن از رابطه (۲-۱۴)، فرض (i) و کران دار بودن ها نشان داد. با بهره گرفتن از رابطه (۲-۱۴) و (۲-۱۵) و نامساوی چبیشف خواهیم داشت:
با ترکیب کردن نتایج بالا می­توان رابطه (۲-۱۳) را برای هر ثابت ، اثبات کرد. از آنجایکه و توابع محدب از هستند، بر اساس لم تحدب^[۶۶] (Pollard (1991)) که در پیوست بدان اشاره شده است می­توان نتیجه گرفت که رابطه (۲-۱۳) به طور یکنواخت در ، برای هر مجموعه فشرده، برقرار است. همچنین، تحت فرض (iv) ، یک مینیمم­کننده یکتا به صورت با

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

برای دارد. با بهره گرفتن از تحدب و آخرین قسمت از اثبات قضیه ۱ در مقاله
( Pollard (1991))، می­توانیم نشان دهیم که میزان اختلاف مینیمم کننده ، که با نماد نشان داده می­ شود، با برابر با است. به عبارت دیگر و بنابر این و دارای توزیع مجانبی مشابه خواهند بود. توجه داشته باشید که را می­توان به عنوان تابعی از باز­نویسی کرد که در این صورت به فرم
نوشته خواهد شد. از آنجایی که این تابع کمترین مقدار خود را در اختیار می­ کند، نتیجه می­گیریم که است. اثبات برای حالت استقلال با ذکر این نکته که دارای توزیع مجانبی است کامل می­ شود.
حال به بررسی حالتی می­پردازیم که در آن یک فرایند –وابسته باشد. روند اثبات، به استثنای چند بخش مهم، شبیه حالت استقلال است. ابتدا، فرض کنید یک فرایند -وابسته یکنواخت کران­دار باشد. در این صورت:
تحت فرض (iii)، و بنا بر این، است. با بهره گرفتن از قضیه حد مرکزی برای فرایند­های –وابسته یکنواخت کران­دار در ( Chung (2001)، قضیه ۱.۳.۷) که در پیوست بدان اشاره شده است، نتیجه می­گیریم که دارای توزیع مجانبی است. علاوه بر آن، با توجه به اینکه:
,
است، بنابراین خواهیم داشت:
,
همچنین، با توجه به –وابسته بودن ، برای ، =۰ است. با ترکیب این نتایج با نامساوی کشی شوارتز می­توان نتیجه گرفت که:
ادامه اثبات شبیه حالت استقلال است.
در نهایت، حالتی را که چند رگرسور داریم مورد بررسی قرار می­دهیم. بدون کم شدن از کلیت مساله فرض کنید باشد. برای اثبات اینکه توزیع توام و ، به صورت مجانبی نرمال است، کافی است را بررسی کنیم، که در آن مشابه در رابطه (۲-۱۲) تعریف شده است و به جای از استفاده می­کنیم. نشان داده شد که، به صورت یکنواخت در ، است که در آن دارای توزیع مجانبی است. بنابراین، تنها کافی است را محاسبه کنیم.
با توجه به تعریف رابطه زیر را داریم:
که در آن است. با توجه به اینکه است، خواهیم داشت:
.
∎
تذکر ۲-۴