(λ_Ay_1A+ λ_By_1B , λ_Ay_2A+ λ_By_2B)
λ_A + λ_B = ۱
λ_A ≤ ۰
با قرار دادن مختصات نقطه D'’ در رابطه فوق خواهیم داشت:
y_1D*(1+α) = λ_Ay_1A+ λ_By_1B
y_2D*(1+α) = λ_Ay_2A+ λ_By_2B
λ_A + λ_B = ۱
λ_A ≤ ۰
با حل دستگاه سه معادله – سه مجهول فوق، مقدار α، λ_A و λ_B به دست می آید.
برای به دست آوردن مدل کلی، توجه به این نکته ضروری است که مرز کارا می تواند نقاط گوشه متعددی داشته باشد که هر کدام متناظر با یک واحد کار باشد، مانند نقطه C در شکل ۳-۲۴ . در مدل کلی ارائه شده به این نکته توجه شده و در آنجا، تفاوتی میان نقطه کارای A (که مجاور با B و در سمت مخالف D قرار دارد) با سایر نقاط مرز کارا مشاهده نمی شود. به عبارت دیگر، مدل به نحوی است که برای حل آن، نیاز به تشخیص نقطه کارای مجاور با B و سمت مخالف D وجود ندارد و این، سادگی استفاده از مدل را نشان می­دهد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

در شکل ۳-۲۴ ‌مکان هندسی نقاطی نشان داده شده است که از میانگین موزون تمام نقاط روی مرز کارا حاصل می­شوند و وزن تمام نقاط، به جز واحد مورد بررسی B، منفی است.

شکل ۳-۲۴‌ مکان هندسی نقاطی که از جمع موزون تمام نقاط کارا به دست می­آیند و فقط وزن نقطه B مثبت است.
اثبات می شود که مختصات هر نقطه از فضای هاشورخورده شکل ۳-۲۴ به قرار زیر است:
(, ) = (λ_Ay_1A+ λ_By_1B + λ_Cy_1C, λ_Ay_2A+ λ_By_2B + λ_Cy_2C)
= λ_A + λ_B + λ_C = ۱
λ_A , λ_C ≤ ۰
n یعنی تعداد واحدهای روی مرز کارا
یعنی اندیس واحدهای روی مرز کاراj
چنانچه واحد D عملکرد خود را ارتقاء دهد طوری که خود را به فضای هاشورخورده برساند، واحد B کارایی خود را از دست خواهد داد.
اگر فرض شود که واحد D عملکرد خود را به میزان α بهبود بخشیده تا به نقطه D^‘’ رسیده باشد (خروجی­هایش را ۱۰۰α% افزایش داده باشد) در این­صورت مختصات آن همان طور که قبلاً گفته شد، برابراست با (y_1D*(1+α), y_2D*(1+α)). برای آن­که این نقطه در فضای هاشورخورده قرار گیرد؛ باید :
y_1D*(1+α) = λ_Ay_1A+ λ_By_1B+ λ_Cy_1C
y_2D*(1+α) = λ_Ay_2A+ λ_By_2B+ λ_Cy_2C
λ_A + λ_B + λ_C = ۱
λ_A , λ_C ≤ ۰
دستگاه فوق، یک دستگاه سه معادله – چهار مجهول است و بی­نهایت جواب دارد. هرکدام از جواب­های آن با یکی از نقاط امتداد خط OD'’ ( با توجه به فرض ثبات استراتژی واحد D )، در سمت D'’ متناظر است. نقطه D'’ متناظر با جوابی است که حداقل α را به همراه دارد. چنین α-ی بر اساس تعریف حاشیه امنیت کارایی، در محاسبه این پارامتر مورد استفاده قرار می گیرد. لذا سنجش حاشیه امنیت کارایی واحد B نسبت به واحد D نیازمند حل مدل زیر است:
min α, subject to:
y_1D*(1+α) = λ_Ay_1A+ λ_By_1B+ λ_Cy_1C
y_2D*(1+α) = λ_Ay_2A+ λ_By_2B+ λ_Cy_2C
λ_A + λ_B + λ_C = ۱
λ_A , λ_C ≤ ۰
و در حالت کلی، برای مسائل چند ورودی – چند خروجی، حاشیه امنیت کارایی واحد کارای تحت بررسی که با اندیس صفر نشان داده می شود، نسبت به یک واحد ناکارا مانند واحد D برابر خواهد بود با جواب مدل زیر:
min α, subject to:
y_rD*(1+α) = r = 1..s
= ۱
λ_j ≤ ۰ j = 1..n, j≠۰ , α ≥ ۰
که در آن α جواب مدل خواهد بود و با یافتن آن، ۱۰۰α مقدار حاشیه امنیت کارایی واحد کارای شماره صفر نسبت به واحد ناکارای D است. همچنین، s تعداد خروجی­ها و r اندیس خروجی­ها را نشان می­دهد. y_rD خروجی­های واحد D ( واحدی که حاشیه امنیت نسبت به آن سنجیده می شود ) و y_rj خروجی­های واحد کارای j-ام است. n تعداد واحدهای کارا را نشان می­دهد. λ_j­ –ها وزن مربوط به هر واحد کارا است.
البته برای آن­که مدل در حالت کلی جواب دهد، و فرض ثابت و مساوی یک بودن ورودی ها که در ابتدای این بخش برای سادگی از آن استفاده شد، کنار گذاشته شود؛ باید مدل به شکل زیر تکمیل و اصلاح گردد:
min α, subject to:
y_rD*(1+α) ≥ r = 1…s
x_iD ≤ i = 1…m
λ_j ≤ ۰ j , j≠۰
λ_۰ ≥ ۰ , α ≥۰
و در آن m تعداد ورودی، i اندیس آن، x_iD و x_ij به ترتیب ورودی­های واحد D و ورودی­های واحد کارای j-ام همچنین z مجموعه اندیس واحد های کارا وj=0 واحد کارای تحت بررسی است.
شکل استاندارد مدل به صورت زیر می باشد:
min w = α