شکل ۳-۱- نحوه­ انتخاب دو کوارک پایین و یک کوارک بالا از بین شش کوارک شامل سه کوارک بالا و سه کوارک پایین

علت این است که با انتخاب سه­تایی اول که اولین باریون را تشکیل می­دهد، با توجه به موارد قابل قبول از لحاظ اسپین و طعم برای تشکیل دوترون، سه تایی دوم قابل پیش بینی است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

با توجه به نوع قرار گیری اسپین و طعم این ذرات می­توان تعداد ترکیب هرکدام از این جفت­های سه­تایی را محاسبه کرد.
می­توان دید که جفت فقط در دو حالت امکان پذیر است و آن این است که سه­تایی اول یا هرسه، کوارک بالا و یا کوارک پایین باشند. اما برای دیدن تعداد حالات هرکدام از ذرات دیگر باید دقت بیش­تری کرد. می­خواهیم از درون کیسه­ای که شش کوارک، شامل سه کوارک بالا و سه کوارک پایین است، به طور تصادفی سه کوارک خارج کنیم. به نه حالت مختلف می توان دو کوارک پایین و یک کوارک بالا را انتخاب کرد، که با توجه به اسپین کل این ذره می ­تواند نوترون و یا باشد، پس ۵۰% این احتمال به هر کدام از این ذرات می­رسد، اما ذره­ای که با آن جفت می­ شود و سه­تایی دوم است مشخصا دارای دو کوارک بالا و یک کوارک پایین است و می ­تواند پروتون و یا باشد. تعداد حالت­های دو کوارک پایین و یک کوارک بالا نیز همین مقدار می شود. با توجه به این موضوع تعداد کل حالات برابر با ۲۰ است.
جفت­های ممکن به صورت زیر هستند:
کاملا واضح است که چهار جفت اول احتمال وقوع یکسانی دارند پس هر کدام از جفت­ها از احتمال برداشتن بعلاوه­ی را در اختیار می­گیرند چون زوج نوترون و پروتون با پروتون و نوترون هیچ تفاوتی ندارد. ()
احتمال وقوع و ، احتمال وقوع نوترون و پروتون، احتمال وقوع نوترون و ، احتمال وقوع پروتون و، و احتمال وقوع و وجود دارد که باید در ایجاد تابع موج کلی در نظر گرفته شوند.
۳-۲ محاسبه­ی تابع موج اتم دوترون
حال مشغول محاسبه­ی تک تک این حالت­ها می شویم. قسمت رنگ را قبلا بررسی کردیم که برای تمامی این حالت­ها یکسان است .حالت یگانه­ای که برای سه رنگ وجود دارد به شکل زیر است.
حال محاسبات مربوط به قسمت اسپینی و طعم ذره­ی را که از سه کوارک بالا تشکیل شده و اسپین کل آن باید است را انجام می­دهیم. زیرا حالت طعم متقارن است و در نتیجه قسمت اسپینی آن نیز باید متقارن باشد. پس:
که در آن­ها () نشان دهنده حالت بالای اسپینی و (-) حالت پایین اسپینی است. این حالت­های اسپینی به راحتی از کوانتوم مکانیک با اثر دادن عملگر نردبانی بر روی حالت بیشینه اسپینی به دست می­آیند:
تاثیر این عملگر بر روی تابع موج از رابطه­ زیر به دست می آید و یک واحد از مولفه­ی z ذره کم می­ شود.
برای ذره­ی نیز به همین ترتیب داریم:
برای جمله­ اول تابع موج دوترون داریم:
این رابطه بدین طریق به دست می ­آید که بعد از این که ما خوشه­های سه­تایی را برای شش کوارک در نظر گرفتیم، و تابع موج­های این خوشه­های سه­تایی را نوشتیم، حال هرکدام از این خوشه­های سه تایی، فرمیون هستند و ما باید تابع موج دوترون را با بهره گرفتن از این دو فرمیون که تابع موج­های آن­ها را می­دانیم بنویسیم.
برای این که بدانیم این ضرایب از چه طریقی به دست آمده‌اند به طریق زیر عمل می‌کنیم. با داشتن دو فرویون با اسپین حالت­های قابل دسترس برای اسپین کل برابر است با:
با توجه به این که اسپین کل هسته‌ی دوترون ۱ است و حالت مورد نظر ما برای این هسته است، با بهره گرفتن از شرایط تعامد و بهنجار بودن این حالت را محاسبه می‌کنیم.
قبل از شروع محاسبات لازم است به این نکته اشاره شود که حالت اسپین کل و اسپین تک تک ذرات به صورت زیر خلاصه شده است:
می‌دانیم:
و به همین طریق:
برای رسیدن به جواب مورد نظر ما از حالت سه همین مقدار کافی است. حال به سراغ حالت دو می‌رویم. برای تشکیل مولفه‌ی به بزرگی دو، فقط دو حالت برای دسترس وجود دارد:
معادله‌ی بالا معادله‌ای با دو مجهول است که به راحتی با شرایط تعامد و بهنجار بودن که در ابتدا (۳-۱۷) ذکر شد به دست می‌آیند:
حال به سراغ حالت یک می‌رویم. تنها سه ترکیب وجود دارد که می‌تواند به ما اسپین کل یک را بدهد:
با داشتن دو شرط تعامد () و یک شرط بهنجار بودن () می­توان سه مجهول موجود در معادله را محاسبه کرد که نتیجه و ضرایب مورد نظر ما خواهند بود:
حال با توجه به مطلب مذکور به این نتیجه می‌رسیم که:
که دارای ۱۵ جمله است. حال به سراغ توابع موج ذرات و که حالت­های برانگیخته­ی پروتون و نوترون هستند می­رویم. این ذرات نیز دارای توابع موج اسپینی و طعم متقارن هستند:
که برابر است با:
که ۱۳۵ جمله دارد.
برای پروتون و نوترون این قضیه کمی پیچیده­تر است. حال پروتون که ذره­ای با آیزو اسپین است را محاسبه می کنیم:
که قسمت تابع موج طعم است که به طور جزئی و نسبت به ذرات اول و دوم پاد متقارن است. که در نهایت برای تبدیل ضرب قسمت اسپین و طعم به یک تابع متقارن، این تابع باید در جمله­ اسپینی نظیر که نسبت به همین دو ذره پاد متقارن است، ضرب کنیم. هم­چنین باید توجه داشت که تمام جایگشت­های پاد تقارن را نیز باید در نظر گرفت، یعنی توابعی که نسبت به سایر جفت­ها به طور جزئی پاد متقارن هستند نیز باید وارد شود. در این­جا برای نمونه فقط یکی از این قسمت ­ها را آورده­ایم. بقیه­ی قسمت ها را هنگام محاسبه وارد می کنیم.
قسمت پروتونی و نوترونی تابع موج دوترون به صورت زیر می­باشد:
حال باید تابع موج کامل پروتون و نوترون را نوشته و در هم ضرب کنیم. برای قسمت اول داریم:
که بعد از ضرب شامل ۱۴۴ جمله است:
حال فقط دو قسمت از تابع موج کلی سیستم باقی مانده است؛ ابتدا ترکیب و نوترون:
که در آن ضرایب به همان طریقه‌ی قبل محاسبه شده‌اند. این عبارت برابر است با:
که ۱۰۸ جمله دارد. و ترکیب پروتون و :
که باز هم ۱۰۸ جمله دارد.به همین طریق، تابع موج کلی محاسبه می شود.
۳-۳- محاسبه­ی گشتاور مغناطیسی هسته­ی اتم دوترون
تنها کار باقی مانده محاسبه ی کمیت مورد نظر یعنی گشتاور مغناطیسی است. مولفه ی z گشتاور مغناطیسی کوارک های بالا و پایین به شکل زیر محاسبه می شود[۱۴]: