محاسبه مدلی که بتواند این وابستگی­ها را در نظر بگیرد بسیار دشوار خواهد بود، اما در بسیاری از موارد مقداری که یک متغیر تصادفی به خود اختصاص می­دهد، فقط به مقدار قبلی آن متغیر بستگی دارد. یعنی می­توان رابطه بالا را به صورت ساده زیر نوشت:
( آریانژاد، 1387: 147)
با بیان این مطالب، منظور از فرایند مارکوف، فرایند تصادفی است که دارای سه ویژگی زیر باشد :
- تعداد نتایج یا وضعیت­های ممکن محدود^[85] باشد.
- نتیجه یا وضعیت در هر دوره فقط وابسته به نتیجه دوره قبل باشد.
- احتمالات مربوط به تغییر وضعیت­ها طی زمان ثابت باشد
اگر یک فرایند مارکوف مجموعه نتایج قابل شمارش^[86] داشته باشد زنجیره مارکوف نامیده می­ شود. همان­طور که توضیح داده شد، مارکوف متغیر تصادفی X_n را وابسته به وضعیت آن در یک دوره قبل یعنی وابسته به X_n-1 و مستقل از X_n-2, X_n-3, …,X₁ معرفی کرد. برای بیان ساده­تر به صورت زیر می­نویسیم:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

و این یک بردار احتمال سطری است که هر انتقال ممکنی از حالت i به تمام حالت­های موجود در سیستم را نشان می­دهد، به طوری که برای هر i داریم:
(دبلدی و اسونگ^[87]، 2011: 103).
هدف زنجیره­ی مارکوف، مطالعه فرایندهایی است که اگر حالت فعلی معلوم باشد، آینده فرایند مستقل از گذشته آن است که در طبیعت، ریاضی و علوم اجتماعی مثال­های بسیاری با چنین ویژگی وجود دارند(قهرمانی،1390: 700). با توجه به مفهوم زنجیره مارکوف، می­توان آن را یک سیستم معادلات تفاضلی درجه اول معرفی کرد که وضعیت­های مختلف را طی زمان به هم مرتبط می­ کند. یعنی تغییرات را طی زمان نشان می­دهد و می­توان همگرا یا واگرا بودن آن را در طول زمان بررسی کرد. در حقیقت این فرایند حرکت در یک سیستم، از حالتی به حالت دیگر به همراه احتمالات مرتبط با هر انتقال است که به عنوان زنجیره شناخته شده است. با وجود n حالت، مدل زنجیره مارکوف n² پارامتر خواهد داشت که در یک ماتریس انتقال n*n چیده می­شوند. تخمین زدن این درآیه­ها از بررسی داده ­ها برای رسیدن به سوالات گوناگونی به کار می­رود. (گویگ و مارشال^[88]، 1986: 1407)
3-6-2- ماتریس انتقال
تغییرات حالات سیستم، انتقال نام دارند و احتمال‌هایی که به این تغییر حالت‌ها نسبت داده می‌شوند احتمال انتقال نام دارند. مجموعه‌ای از حالت‌ها و احتمال انتقال‌ها به طور کامل یک زنجیره مارکوف را مشخص می‌کنند. ماتریسی که احتمال تغییر وضعیت را در زنجیره مارکوف نشان می­دهد، ماتریس انتقال می­نامیم. این ماتریس دارای سه ویژگی است:

1. 1. از آنجا که تمام وضعیت­ها را در بر می­گیرد، حتما مربع است.

1. 1. چون درآیه­ها بیان­گر احتمالات هستند، عددی را بین صفر و یک اختیار می­ کنند.

1. 1. جمع عناصر هر سطر حتما برابر با یک است.

یکی از بهترین روش­های تخمین درآیه­های ماتریس انتقال استفاده از فراوانی نسبی به صورت زیر است:
(1)
: تعداد مشاهدات برای حرکت از وضعیت i به وضعیت j
: تعداد کل مشاهدات برای حرکت از i به همان وضعیت یا هر وضعیت دیگر (ادلمن،1958: 899)
اگر یک فرایند تصادفی X در n حالت مختلف در نظر بگیریم که به مجموعه­{ I={1,2,…..,n تعلق دارد. با فرض اینکه همیشه یک احتمال ثابت p_ij وجود دارد که این فرایند از حالت i به حالت j برود، می­ شود ماتریس انتقالn*n را که هر درآیه به شکل زیر تعریف می­ شود را برآورد کرد:
که این احتمالات مطابق با فرمول (1) محاسبه می­ شود. درآیه­های روی قطر اصلی احتمال وضعیت ثابت در طول زمان را نشان می­ دهند. اگر عناصر روی قطر اصلی ماتریس انتقال بزرگ باشند، نشان­دهنده تمایل برای ماندن در همان وضعیت خاص، در دوره بعد است و اگر عناصر غیر از قطر اصلی، بزرگ باشند، گرایش زیاد برای حرکت از حالتی به حالت دیگر بین دو دوره را نشان می­دهد. هدف شاخص­ های تحرک وزن دادن به مقادیر عناصر خارج از قطر اصلی در برابر مقادیر عناصر روی قطر اصلی است(کانتر و کروگر^[89]، 2004: 176).
3-6-3- حالت پایدار^[90] زنجیره مارکوف
همان­طور که در بخش­های قبل گفته شد، بنگاه­ ممکن است در کوتاه­مدت رشد یا رکود داشته باشند اما در بلند­مدت که در حقیقت برآیندی از این تغییرات مثبت و منفی آن­ است، نسبت به بنگاه­های دیگر تغییری نداشته باشد(دبلدی و اسونگ، 2011: 104). برای بعضی از زنجیره­های مارکوف، پس از تعداد زیادی تغییر وضعیت احتمال رسیدن زنجیره به یک وضعیت خاص مستقل از وضعیت اولیه وجود دارد(قهرمانی،1390: 738). در بحث زنجیره مارکوف، زنجیره­ای وضعیت پایدار دارد که یک بردار وجود داشته باشد به طوری که ماتریس انتقال T در تساوی زیر صدق کند.:
برداری که اگر در ماتریس انتقال ضرب شود، حاصل آن برابر با خود بردار است و این بدان معناست با رسیدن به این حالت، ماتریس انتقال ثابت شده و پس از و در دوره­ های بعد از آن تغییری نخواهد کرد
(2)
این بردار وضعیت پایدار، نشان­دهنده توزیع متغیر تصادفی در بلند مدت است
(3)
( دبلدی و اسونگ، 2011: 104)
اگر ماتریس انتقال، یک ماتریس منظم باشد، حتما در بلند­مدت به بردار معینی خواهد رسید این بردار به چند روش قابل محاسبه است که در ادامه دو روش ذکر شده است:
هر ماتریس را می­توان برحسب بردارهای ویژه چپ و راستش بسط داد. اگر ماتریسی( مثل ماتریس انتقال T ) دارای n مقدار ویژه متمایز از هم در نظر بگیریم به صورت زیر می­توان بسط آن را نوشت:
باید حاصل ضرب بردار چپ و راست را نرمال کرد.
و می­د­انیم اگر ماتریسی به توان برسد، ویژه مقادیر آن نیز به همان توان می­رسند. پس داریم:
شرط اینکه یک ماتریس منظم باشد، این است که بزرگترین ویژه مقدار آن یک باشد. ویژه مقادیر را از بزرگ به کوچک مرتب می­کنیم. مقدارش برابر با یک و بقیه مقدارشان کوچکتر از یک است. پس تساوی بالا را به صورت زیر می­توان نوشت:
می­توان این مقدار پایدار را از روش اولین بردار سمت چپ ماتریس نیز به دست آورد، این روش به صورت زیر اثبات می­گردد:وضعیت اولیه قرار گرفتن بنگاه­ها در گروه­ ها(حالت­ها) می­باشد. که بر حسب بردارهای ویژه چپ، با ضرایب دلخواه بسط داده شده است:
از آنجا که برای بردارهای ویژه چپ معادله زیر صادق است،
می­توان حاصل­ضرب بردار حالت اولیه در ماتریس انتقال را به صورت زیر بازنویسی کرد:
بزرگ­ترین ویژه مقدار یک ماتریس منظم برابر با یک و بقیه وویژه مقادیر از آن کوچک­تر می­باشد بنابراین
که به صورتی انتخاب می­ شود که جمع عناصر این بردار حاصله برابر با یک شود، نرمال کردن این بردار به صورت زیر است:
بنابراین اولین بردار ویژه چپ ماتریس انتقال، وقتی طوری نرمال شود که مجموع عناصر این بردار برابر با یک باشد، حالت ثابت^[91] یا بردار پایدار^[92] زنجیره می­گویند، که حد ماتریس انتقال سیستم است(میر و پلمونر^[93]، 1993: 126)
3-6-4- محاسبه­ شاخص تحرک
کانتنر و کروگر^[94] (2004)،گویک و همکارانش (1986) و شورکز^[95](1978) اظهار داشتند که هدف شاخص­ های تحرک وزن دادن به مقدار و اهمیت عناصر قطر اصلی است و همچنین امکان رتبه ­بندی متفاوت ماتریس­های انتقال از لحاظ تحرک را آسان می­ کنند. اگر p ماتریس انتقال باشد و بخواهیم شاخص­ های تحرک را به عنوان یک اسکالر واقعی پیوسته تعریف کنیم، تابع را به صورت زیر ارزش­گذاری می­­کنیم:
یک شاخص تحرک، یک تابع از احتمال انتقال، است که ماتریس انتقال ،P ، را به یک عدد^[96] ترسیم می­ کند و به کمک M(I)=0 آن را تفسیر می­کنیم، این ماتریس نشان دهنده یک زنجیره مارکوف با عدم تحرک کامل است. (گویک و مارشال، 1986: 1408)
شورکز^[97]پیشنهاد کرد که شاخص­ های تحرک با توجه به چند معیار سنجش شوند که ما آنها را در سه گروه قرار داد:
الف) معیارهای پایداری^[98]
این معیارها یک شاخص را مقید به مطابقت با برخی ویژگی­های ماتریس انتقال P می­ کند.

• معیار یکنوایی(M)^[99] :